Священник у католиков и православных - священнослужитель 2-й степени священства, т.е. имеет право совершать богослужения и все таинства кроме таинства рукоположения (есть небольшие различия в степенях). При этом священник чаще всего не удаляется от мирской жизни и может иметь семью.
Монах удаляется от мира, чтобы посвятить себя служению Богу. Не знаю, как там, а у нас перед монашеским постригом человек должен пройти испытание послушничеством.